Modern Robotics, Part 6B — Trajectory, 제약, 그리고 Motion Planning

앞선 글에서는 동역학과 제어 관점을 정립했습니다. 로봇 운동은 geometry뿐 아니라 inertia, gravity, force transmission, task-space control에 의해서도 결정됩니다. 하지만 실제로 로봇은 한 configuration에서 다른 configuration으로 부드럽고 실현 가능하며 안전한 방식으로 이동해야 합니다.

이것이 trajectory와 planning 문제입니다.

1. Path는 trajectory와 다르다

Path는 configuration space 또는 task space에 있는 기하학적 곡선입니다. Trajectory는 여기에 timing을 더한 path입니다.

예를 들어 path는 "pose A에서 pose B로 직선으로 이동한다"일 수 있지만, trajectory는 다음도 지정해야 합니다.

• 로봇이 언제 시작하는지,
• 얼마나 빠르게 움직이는지,
• 언제 감속하는지,
• acceleration이 limit 안에 있는지입니다.

시간을 고려하지 않고 path를 따라갈 수는 없습니다. 그렇지 않으면 기하학적으로는 맞지만 동역학적으로는 불가능한 명령을 만들 수 있습니다.

그래서 trajectory generation은 기구학과 실행 사이의 필수 단계입니다.

2. Time scaling의 역할

Path를 arc length나 path parameter를 나타내는 scalar $s$로 매개화한다고 합시다. 그러면 그 경로를 따른 로봇 운동은 time law로 정해집니다.

$$s = s(t).$$

Joint trajectory는

$$q(t) = q(s(t)).$$

가 됩니다. 미분하면

$$\dot{q}(t) = \frac{dq}{ds}\dot{s},$$

그리고

$$\ddot{q}(t) = \frac{d^2 q}{ds^2}\dot{s}^2 + \frac{dq}{ds}\ddot{s}.$$

입니다.

이 분해는 다음을 나눠 생각할 수 있게 하므로 유용합니다.

• 기하학적 path shape $q(s)$,
• timing law $s(t)$입니다.

Timing law는 운동이 velocity와 acceleration bound를 만족하는지 결정합니다. 이 분리는 motion planning과 trajectory generation에서 가장 중요한 개념 중 하나입니다.

3. Polynomial trajectory

부드러운 trajectory를 만드는 흔한 방법은 polynomial interpolation입니다. 가장 간단한 예는 cubic polynomial입니다.

$$q(t) = a_0 + a_1 t + a_2 t^2 + a_3 t^3.$$

계수는 initial position, final position, initial/final velocity 같은 boundary condition을 맞추도록 선택합니다.

더 높은 smoothness가 필요하면 quintic polynomial을 사용합니다.

$$q(t) = a_0 + a_1 t + a_2 t^2 + a_3 t^3 + a_4 t^4 + a_5 t^5.$$

이를 사용하면 끝점에서 position과 velocity 제약을 만족하고, 어떤 정식화에서는 acceleration 제약도 만족할 수 있습니다.

이는 로봇이 운동을 갑자기 바꾸지 않아야 하기 때문에 중요합니다. 부드러운 interpolation은 jerk, vibration, wear를 줄이고 controller를 안정화하기도 쉽게 합니다.

4. Dynamics가 trajectory 선택에 영향을 주는 이유

기하학적으로 path를 만들 수 있어도 로봇이 원하는 속도로 이를 실행할 수 있다는 뜻은 아닙니다.

동역학 방정식

$$M(q)\ddot{q} + C(q,\dot{q})\dot{q} + g(q) = \tau$$

은 어떤 운동이 실현 가능한지 제약합니다.

다시 말해 path가 기구학적으로 도달 가능해도 actuator limit 아래에서는 동역학적으로 불가능할 수 있습니다. 이는 고속 manipulation과 무거운 payload 운반에서 특히 중요합니다.

그래서 trajectory generation은 기하학만의 문제가 아닙니다. 동시에 dynamics와 control의 문제입니다.

5. Configuration space와 obstacle avoidance

Motion planning은 근본적으로 configuration space에서 실현 가능한 path를 찾는 일입니다.

Configuration space는 모든 joint configuration의 집합입니다. Configuration은 다음을 만족하면 유효합니다.

• joint limit를 만족하고,
• collision을 피하며,
• feasible motion envelope 안에 있어야 합니다.

이 mapping은 "세계의 장애물을 피하라"는 기하학적 문제를 고차원 state space에서의 search 문제로 바꿉니다.

관절이 많으면 configuration space는 크고 복잡해질 수 있습니다. 정확한 planning이 어려운 이유이며 sampling-based method가 유용해지는 이유입니다.

6. Sampling-based planning

대표적인 두 sampling-based planner는 다음과 같습니다.

• PRM (Probabilistic Roadmap)
• RRT (Rapidly-exploring Random Tree)

이 방법들은 유효한 configuration의 graph 또는 tree를 만들고, feasibility를 확인하면서 가까운 sample을 연결합니다.

Configuration space가 고차원이고 장애물이 복잡할 때 특히 유용합니다. 이런 상황에서는 analytic planning이 실현 불가능한 경우가 많습니다.

아이디어는 단순하지만 강력합니다.

• 임의의 configuration을 sampling합니다.
• 유효한 sample만 남깁니다.
• 이들을 graph로 연결합니다.
• 목표까지의 path를 search합니다.

이는 로봇공학의 표준적인 접근법이 되었습니다.

7. Task-space planning과 joint-space planning

로봇 task는 target pose나 Cartesian path를 따라 tool을 움직이는 것처럼 task space에서 지정하는 경우가 많습니다. 하지만 로봇 자체는 joint space에서 제어됩니다.

따라서 두 가지 자연스러운 planning paradigm이 있습니다.

Task-space planning

End-effector frame이나 world frame에서 path를 설계하며, 직선, 곡선, orientation interpolation을 사용할 수 있습니다.

이는 로봇이 수행해야 할 작업과 직접 맞닿아 있습니다.

Joint-space planning

Joint coordinate에서 직접 path를 설계합니다. Joint limit와 actuator constraint를 적용하기에는 더 단순한 경우가 많습니다.

Jacobian은 joint-space motion을 task-space twist로, 또 그 반대로 mapping하므로 두 관점을 연결합니다.

실제로 최선의 전략은 application에 따라 달라집니다. Workspace 목표에는 task-space motion이, actuator feasibility와 safety에는 joint-space motion이 적합합니다.

8. Collision constraint도 동적 제약이다

Path는 collision-free여야만 유용합니다. 하지만 실제로 collision checking은 기하학만의 문제가 아닙니다. 운동은 dynamic behavior와 control margin도 지켜야 합니다.

예를 들어 trajectory가 discrete sample 지점에서는 collision-free여도 시간상 너무 공격적이면 overshoot나 큰 control effort를 만들 수 있습니다. 그래서 planner는 safety margin과 smoothness penalty를 자주 사용합니다.

이는 planning과 control이 긴밀하게 연결되어 있다는 사실도 보여 줍니다. 기하학적으로 유효한 path가 control 성능 면에서는 좋지 않을 수 있습니다.

9. Motion planning에서 optimization의 역할

현대의 planning은 sample-based search만이 아니라 optimization을 자주 사용합니다. 이때 다음과 같은 cost function을 정의할 수 있습니다.

$$J = \int_0^T \left(\|\dot{q}(t)\|^2 + \lambda \|\ddot{q}(t)\|^2 + \text{obstacle cost}\right) dt.$$

이 목적 함수는 다음을 균형 있게 고려합니다.

• smoothness,
• effort,
• obstacle avoidance,
• 그리고 필요하다면 trackability입니다.

Optimization-based motion generation은 feasibility만큼 trajectory quality가 중요한 로봇공학에서 매우 효과적입니다.

목표는 유효한 path를 아무거나 고르는 것이 아니라, 실현 가능하면서도 좋은 path를 고르는 것입니다.

10. Planning이 기구학에 깊이 의존하는 이유

로봇이 가능한 운동은 workspace와 configuration 제약에 의해 결정되므로 전체 planning 과정은 기구학에 의존합니다.

Target pose가 reachable workspace 밖에 있으면 task를 바꾸지 않는 한 어떤 planner도 해결할 수 없습니다. Path가 singular configuration 근처를 지나면 planner가 제어하기 어려운 운동을 만들 수 있습니다. Path에 극단적인 joint rate가 필요하면 trajectory가 동역학적으로 실현 불가능할 수 있습니다.

앞선 이론이 실제로 중요한 이유가 여기에 있습니다.

• Screw axis는 운동 방향을 정의합니다.
• Jacobian은 국소 이동성을 정의합니다.
• Inverse kinematics는 도달 가능한 configuration을 정의합니다.
• Dynamic constraint는 실현 가능한 timing을 결정합니다.
• Planning은 이 모든 것을 만족하는 path를 제공합니다.

11. Path에서 실행으로

실현 가능한 trajectory를 planning하면 controller가 tracking law를 사용해 실행합니다. 목표는 실제 disturbance와 actuator limit를 고려하면서 로봇이 계획된 운동을 따르게 하는 것입니다.

여기서는 task-space control, inverse kinematics, dynamic compensation이 함께 작동합니다.

• Planner가 reference trajectory를 계산합니다.
• Controller가 이를 추적합니다.
• 로봇은 적절한 joint torque 또는 rate로 반응합니다.

이로써 geometry에서 motion generation을 거쳐 actuation으로 이어지는 loop가 완성됩니다.

12. 최종 해석

Trajectory와 planning 문제는 운동 이론이 실제 행동이 되는 지점입니다.

강체의 기하학적 설명에서 시작한 내용은 부드럽고 실현 가능하며 안전한 로봇 운동을 설계하고 실행하는 능력으로 끝납니다. 개념의 연결은 다음과 같습니다.

$$\text{rigid-body geometry} \rightarrow \text{twists} \rightarrow \text{Jacobian} \rightarrow \text{IK} \rightarrow \text{dynamics} \rightarrow \text{trajectory} \rightarrow \text{planning}.$$

이것이 현대 로봇공학의 전체 architecture입니다.

핵심 통찰은 각 층이 서로 분리되어 있지 않다는 점입니다. 각 층은 앞선 층에 의존합니다. Geometry가 motion model을 만들고, dynamics가 실행을 제한하며, planning이 가능한 운동 중 제약을 만족하는 방식을 선택합니다.

Modern Robotics 정식화가 강력한 이유도 여기에 있습니다. 가장 작은 미소 운동부터 가장 넓은 motion-planning 문제까지 로봇 운동을 하나의 관점으로 볼 수 있게 합니다.