Modern Robotics, Part 3 — Jacobian과 말단 장치 속도

앞선 글에서는 twist와 screw axis를 사용해 강체 운동을 기하학적으로 바라보는 관점을 발전시켰습니다. 관절은 단순히 "각도를 움직이는" 것이 아니라 screw axis를 통해 강체 운동을 만들며, 유한한 로봇 pose는 그 운동 생성자를 지수화해 얻는다는 점을 살펴봤습니다.

이제 실용적인 질문이 바로 이어집니다.

관절 변수가 $\dot{\theta}$의 속도로 움직일 때 말단 장치의 속도는 얼마인가?

답은 Jacobian입니다.

Jacobian은 관절 속도를 spatial 또는 body 말단 장치 운동으로 바꾸는 선형 사상입니다. Configuration space와 task space를 연결하기 때문에 로봇공학에서 가장 중요한 대상 중 하나입니다.

1. 관절 운동에서 말단 장치 twist로

로봇 configuration을 관절 변수로 나타내면

$$\theta = \begin{bmatrix} \theta_1 \\\ \theta_2 \\\ \vdots \\\ \theta_n \end{bmatrix}.$$

말단 장치 pose는 강체 변환입니다.

$$T_{se}(\theta) \in SE(3).$$

관절이 다음과 같이 움직인다고 합시다.

$$\dot{\theta} = \begin{bmatrix} \dot{\theta}_1 \\\ \dot{\theta}_2 \\\ \vdots \\\ \dot{\theta}_n \end{bmatrix},$$

말단 장치의 순간 twist는 무엇일까요?

답은 다음 Jacobian 관계입니다.

$$\nu = J(\theta) \dot{\theta},$$

여기서 $\nu$는 말단 장치 twist이고 $J(\theta)$는 Jacobian 행렬입니다.

이 식은 로봇 운동의 미소 표현입니다. 말단 장치 속도가 관절 속도의 선형 결합이며, 그 계수는 기구의 기하에 의해 결정된다는 뜻입니다.

이는 역학 전반에서 보이는 패턴과 같습니다.

• 작은 변위는 선형화합니다.
• Configuration 의존성은 선형 사상을 만듭니다.
• 그 사상이 Jacobian입니다.

2. Screw-axis Jacobian

Jacobian을 유도하는 가장 이해하기 쉬운 방법은 screw-axis 관점에서 출발하는 것입니다.

각 관절 $i$에는 적절한 좌표계에서 screw axis $\mathcal{S}_i$를 대응시킬 수 있습니다. 그러면 관절 $i$가 말단 장치 twist에 기여하는 순간 성분은

$$\nu_i = \mathcal{S}_i \dot{\theta}_i.$$

전체 말단 장치 twist는 모든 관절 기여의 합입니다.

$$\nu = \sum_{i=1}^n \mathcal{S}_i \dot{\theta}_i.$$

이를 행렬로 모으면

$$\nu = \begin{bmatrix} \mathcal{S}_1 & \mathcal{S}_2 & \cdots & \mathcal{S}_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dot{\theta}_1 \\\ \dot{\theta}_2 \\\ \vdots \\\ \dot{\theta}_n \end{bmatrix}.$$

이 행렬이 Jacobian입니다.

$$J(\theta) = \begin{bmatrix} \mathcal{S}_1 & \mathcal{S}_2 & \cdots & \mathcal{S}_n \end{bmatrix}.$$

열벡터는 관절 운동 생성자입니다. 따라서 Jacobian은 추상적인 것이 아니라 screw axis를 행렬로 배열한 것입니다.

이것이 Modern Robotics의 핵심 통찰 중 하나입니다. Jacobian은 임의로 만든 대수가 아니라 기하학적 대상입니다.

3. Spatial Jacobian과 body Jacobian

여기서 twist를 어느 좌표계에서 표현하는지가 중요합니다.

3.1 Spatial Jacobian

말단 장치 twist를 space frame에서 표현하면 Jacobian을 spatial Jacobian $J_s$라고 합니다.

$$\nu_s = J_s(\theta)\,\dot{\theta}.$$

$J_s$의 열은 space frame에서 표현한 screw axis입니다.

3.2 Body Jacobian

말단 장치 twist를 body frame에서 표현하면 body Jacobian $J_b$가 됩니다.

$$\nu_b = J_b(\theta)\,\dot{\theta}.$$

둘의 관계는 adjoint transformation으로 주어집니다.

$$\nu_s = Ad_{T_{sb}}\,\nu_b,$$

따라서

$$J_s = Ad_{T_{sb}} J_b.$$

이 관계는 단순한 표기상의 차이가 아닙니다. 같은 물리적 운동이 서로 다른 좌표계로 표현될 수 있다는 사실을 반영합니다. Jacobian의 형식은 선택한 좌표계에 따라 달라지지만 underlying motion은 불변입니다.

4. Jacobian이 configuration에 의존하는 이유

Jacobian이 configuration에 의존하는 이유는 screw axis 자체가 로봇과 함께 움직이기 때문입니다.

고정된 world frame에서 본 회전 관절의 축은 로봇의 현재 pose에 의존합니다. 따라서 기구의 구조가 같더라도 매니퓰레이터가 움직이면 Jacobian의 열도 바뀝니다.

이 때문에 가장 단순한 경우를 제외하면 Jacobian은 상수가 아닙니다.

Serial manipulator에서는

$$J(\theta) = \begin{bmatrix} \mathcal{S}_1(\theta) & \mathcal{S}_2(\theta) & \cdots & \mathcal{S}_n(\theta) \end{bmatrix},$$

이며 각 $\mathcal{S}_i(\theta)$는 현재 관절 $i$의 screw axis를 적절한 좌표계에서 표현한 것입니다.

자세에 따른 이 의존성이 로봇 기구학을 풍부하면서도 어렵게 만듭니다.

5. 미분 사상으로서의 Jacobian

Jacobian은 forward kinematics map의 미분입니다.

$$T_{se}: \mathbb{R}^n \to SE(3).$$

Configuration $\theta$ 근처에서 기구학을 선형화하면 관절 변수의 작은 변화가 작업 공간의 작은 운동을 만듭니다.

$$\delta T \approx \hat{\nu} T,$$

그리고

$$\nu \approx J(\theta)\delta\theta.$$

이는 다음과 같은 중요한 해석을 제공합니다.

• Forward kinematics는 관절 좌표를 pose로 보냅니다.
• Jacobian은 미소 관절 변화를 미소 도구 운동으로 보냅니다.

따라서 Jacobian은 비선형 로봇 기하의 국소 선형 근사입니다.

6. Singularity와 이동성의 상실

Jacobian이 중요한 큰 이유는 singularity를 드러내기 때문입니다.

Jacobian의 rank가 낮아지면 말단 장치 twist는 0이지만 관절 속도는 0이 아닌 경우가 존재합니다.

$$J(\theta)\dot{\theta} = 0, \quad \dot{\theta} \neq 0.$$

이는 로봇이 task space의 운동을 만들지 않고 configuration space에서 움직일 수 있다는 뜻입니다.

정사각 Jacobian의 경우 조건은

$$\det J(\theta) = 0$$

입니다.

대표적인 singularity는 다음과 같습니다.

• 관절 축이 서로 정렬되는 경우,
• 말단 장치가 완전히 뻗은 자세에 도달하는 경우,
• 손목 또는 팔꿈치 configuration이 퇴화한 사상을 만드는 경우입니다.

Singularity에서는 로봇이 어떤 방향으로 국소 제어력을 잃기 때문에 inverse kinematics와 motion planning 문제가 ill-conditioned해집니다.

그래서 Jacobian은 단순한 편의 도구가 아니라 기계적 가능성을 진단하는 도구이기도 합니다.

7. 예: 평면 2R 매니퓰레이터

링크 길이가 $L_1$, $L_2$인 평면 2R 로봇을 생각해 봅시다. 관절 변수는 $\theta_1$, $\theta_2$입니다.

말단 장치 위치는

$$x = L_1\cos\theta_1 + L_2\cos(\theta_1 + \theta_2),$$ $$y = L_1\sin\theta_1 + L_2\sin(\theta_1 + \theta_2).$$

시간에 대해 미분하면

$$\dot{x} = -L_1\sin\theta_1\dot{\theta}_1 - L_2\sin(\theta_1 + \theta_2)(\dot{\theta}_1 + \dot{\theta}_2),$$ $$\dot{y} = L_1\cos\theta_1\dot{\theta}_1 + L_2\cos(\theta_1 + \theta_2)(\dot{\theta}_1 + \dot{\theta}_2).$$

다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$$\begin{bmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} - L_1\sin\theta_1 - L_2\sin(\theta_1+\theta_2) & -L_2\sin(\theta_1+\theta_2) \\ L_1\cos\theta_1 + L_2\cos(\theta_1+\theta_2) & L_2\cos(\theta_1+\theta_2) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dot{\theta}_1 \\\ \dot{\theta}_2 \end{bmatrix}.$$

이 행렬이 평면 Jacobian입니다. 행렬식은

$$\det J = L_1L_2\sin\theta_2.$$

따라서 다음일 때 rank를 잃습니다.

$$\sin\theta_2 = 0,$$

즉,

$$\theta_2 = 0 \quad \text{또는} \quad \theta_2 = \pi.$$

이 configuration에서는 팔꿈치가 완전히 접히거나 완전히 펴져 말단 장치가 모든 방향으로 독립적으로 움직일 수 없습니다.

이 예는 singularity의 직관을 제공합니다. singularity는 신비한 현상이 아니라 관절 운동에서 task-space 운동으로 가는 기하학적 사상이 퇴화할 때 정확히 발생합니다.

8. Jacobian 열의 기하학적 의미

Jacobian의 각 열은 한 관절이 만드는 순간 운동에 대응합니다.

회전 관절에서는

$$\mathcal{S}_i = \begin{bmatrix} \omega_i \\ -\omega_i \times q_i \end{bmatrix},$$

이며 $q_i$는 관절 축 위의 점입니다.

직동 관절에서는

$$\mathcal{S}_i = \begin{bmatrix} 0 \\ v_i \end{bmatrix},$$

이고 $v_i$는 병진 방향입니다.

따라서 Jacobian은 말단 장치가 이용할 수 있는 모든 순간 운동 방향을 기하학적으로 요약합니다.

Screw theory와 Jacobian이 자연스럽게 연결되는 이유도 여기에 있습니다. Jacobian은 로봇의 기하가 정의한 운동 생성자를 모은 형태입니다.

9. Jacobian이 로봇공학의 중심인 이유

Jacobian은 기하학과 제어를 연결하는 핵심 대상입니다.

다음과 같은 곳에 등장합니다.

• velocity control
• inverse kinematics
• motion planning
• manipulability analysis
• trajectory optimization
• dynamic modeling

예를 들어 말단 장치가 원하는 twist $\nu_d$를 따르도록 하려면

$$J(\theta)\dot{\theta} = \nu_d$$

를 풉니다.

$J$가 정사각이고 가역이면

$$\dot{\theta} = J(\theta)^{-1}\nu_d.$$

이것이 velocity control의 가장 단순한 형태입니다. 행렬이 정사각이 아니거나 가역이 아니면 pseudoinverse 또는 constrained optimization 방법이 필요합니다.

이 실용적인 제어 정식화는 앞선 글의 기하학적 정식화에서 바로 따라옵니다.

10. 개념 요약

지금까지의 이야기는 일관되고 간결합니다.

1. 강체의 운동은 twist로 표현합니다.
2. 관절은 screw axis를 정의합니다.
3. 유한 운동은 exponential map으로 생성합니다.
4. 말단 장치 twist는 관절 기여의 합입니다.
5. Jacobian은 이 기여를 행렬로 모읍니다.
6. Jacobian이 rank를 잃으면 singularity가 나타납니다.

이 흐름이 Modern Robotics를 강력하게 만듭니다. 복잡한 로봇 운동을 기하, 대수, 선형화로 이루어진 정밀한 구조로 바꾸기 때문입니다.

따라서 Jacobian이 중요하다고 말할 때 의미하는 바는 구체적입니다.

$$\boxed{\nu = J(\theta)\dot{\theta}}$$

이 식은 configuration-space 운동과 task-space 운동을 연결하는 기본 관계입니다.

이 간결한 공식이 기구학과 제어를 잇는 다리입니다.