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강체 동역학

모델​

사족 로봇은 질량 mm과 관성 텐서 II를 가진 단일 강체로 모델링되며, 네 개의 점 접지로 지지됩니다. 몸의 상태는 다음으로 구성됩니다:

  • 위치: p∈R3\mathbf{p} \in \mathbb{R}^3 (월드 프레임의 무게중심)
  • 방향: R∈SO(3)\mathbf{R} \in SO(3) (회전 행렬, 또는 오일러 각 Θ\Theta)
  • 선속도: p˙∈R3\dot{\mathbf{p}} \in \mathbb{R}^3
  • 각속도: ω∈R3\boldsymbol{\omega} \in \mathbb{R}^3

운동 방정식​

중력과 접지 힘을 받는 강체의 Newton-Euler 방정식:

a=p¨=g+1m∑i=14fi\mathbf{a} = \ddot{\mathbf{p}} = \mathbf{g} + \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{4} \mathbf{f}_i

ω˙=I−1(∑i=14(ri−p)×fi−ω×Iω)\dot{\boldsymbol{\omega}} = I^{-1} \left( \sum_{i=1}^{4} (\mathbf{r}_i - \mathbf{p}) \times \mathbf{f}_i - \boldsymbol{\omega} \times I \boldsymbol{\omega} \right)

여기서:

  • g=[0,0,−g]⊤\mathbf{g} = [0, 0, -g]^\top 중력 가속도
  • fi∈R3\mathbf{f}_i \in \mathbb{R}^3 발 ii의 지면 반력
  • ri∈R3\mathbf{r}_i \in \mathbb{R}^3 월드 프레임의 발 위치
  • 외적 연산자 ×\times 회전 동역학 표현

접지 제약​

발 ii가 지면과 접지한 경우 (지지 단계):

  1. 기구학 제약: 발의 관통 없음 zi≥0z_i \geq 0

  2. 마찰 원뿔: 쿨롱 마찰 만족 ∥fi,xy∥≤μfi,z\|\mathbf{f}_{i,xy}\| \leq \mu f_{i,z} 여기서 μ\mu는 마찰 계수, fi,xy\mathbf{f}_{i,xy}는 수평 성분입니다.

  3. 음이 아닌 수직력: fi,z≥0f_{i,z} \geq 0

발 ii가 유상인 경우 (접지 없음): fi=0\mathbf{f}_i = \mathbf{0}

단순화: 단일 강체 모델​

단일 강체(SRB) 모델은 다음을 가정합니다:

  1. 조인트 컴플라이언스 없음: 다리는 완전히 경직됨 (실제로는 딱딱한 액추에이터로 만족)
  2. 즉각적 힘 전달: 접지 힘이 몸으로 즉시 전파됨
  3. 모든 다리가 단일 점 지지: 몸의 공간 범위를 무시
  4. 고정 접지 일정: 지지/유상 전환이 정해진 시간에 발생 (보행 일정에서 다룸)

이 근사가 효과적인 이유:

  • 다리 질량이 작음 (일반적으로 다리당 본 체중의 10-15%)
  • 다리 강성이 지배적이어서 컴플라이언스 오류 무시할 수 있음
  • 접지 힘이 다리 관성보다 동역학을 지배

참조 동역학​

MPC는 위치 및 방향에 대한 참조 궤적을 추종합니다. 정의합니다:

  • 참조 속도: p˙kref\dot{\mathbf{p}}^{\text{ref}}_k (명령됨, 포화됨)
  • 참조 위치: pkref=∫0kp˙irefdt\mathbf{p}^{\text{ref}}_k = \int_0^k \dot{\mathbf{p}}^{\text{ref}}_i dt (적분된 참조)
  • 참조 방향: Θkref\Theta^{\text{ref}}_k (ωzref\omega^{\text{ref}}_z에서)
  • 참조 몸 높이: pz,krefp^{\text{ref}}_{z,k} (고정 또는 변조됨)

컨트롤러는 다음을 최소화하는 지면 반력 {fi}\{\mathbf{f}_i\}를 풉니다:

J=∑k=0N−1(∥xk−xkref∥Q2+∥uk∥R2)J = \sum_{k=0}^{N-1} \left( \|\mathbf{x}_k - \mathbf{x}^{\text{ref}}_k\|_Q^2 + \|\mathbf{u}_k\|_R^2 \right)

제약:

  • 각 타임스텝의 선형화된 동역학
  • 마찰 원뿔 및 힘 범위
  • 고정 타이밍 보행의 접지 일정 제약

왜 이것이 작동하는가​

핵심 통찰은 지면 반력이 결정 변수라는 것입니다. 조인트 토크가 아닙니다:

  • 직접성: 세상이 제약하는 것을 직접 최적화 (접지 힘)
  • 볼록성: 마찰 원뿔은 볼록 집합; 힘 추종 비용은 이차식
  • 실시간성: 결과 QP는 40 Hz에서 5ms 내에 풀이 가능할 정도로 작음
  • 견고성: 다리 동역학의 명시적 모델링 불필요 (복잡하고 로봇-특정적)

다음: 2부는 이산 시간 선형 상태-공간 형식을 유도합니다.